La théorie des ensembles: Introduction

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Febreen
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La théorie des ensembles: Introduction

Message par Febreen » sam. 6 oct. 2018 13:29

Bonjour à tous,

Dans ce premier article théorique, nous allons introduire les ensembles. Tout d'abord, qu'est ce qu'un ensemble en mathématiques ?
Un ensemble est une sorte de collection d'objets. Ces objets qui appartiennent à l'ensemble sont appelés les éléments de l'ensemble.

1. L'appartenance.

Admettons que nous avons un ensemble A et a est un élément de l'ensemble A. On dira alors que a appartient à A. On note alors ça:

\(a \in A\)


Il existe le cas contraire également, où a n'appartient pas à A. On note ça alors:

\(a \notin A\)


On a par exemple alors que: \(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\) et \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\)

2. Les ensembles définis en extension.

Un ensemble est défini en extension si on donne explicitement la liste de ses éléments.
Les ensembles ci-dessous sont définis en extension.

\(A = \lbrace{a,b,c}\rbrace ; S = \lbrace{ninja, 42, @}\rbrace\)


3. Les ensembles définis en compréhension.

Un ensemble est défini en compréhension si on donne une propriété qui définit ses éléments.
Les ensembles ci-dessous sont définis en compréhension:

\(A = \lbrace{z \in \mathbb{C | z^2 + 1 = 0} }\rbrace ; S = \lbrace{n \in \mathbb{N} | n\:est\:pair}\rbrace\)


4. L'inclusion d'ensembles.

On dit que l'ensemble A est inclus dans l'ensemble B, noté \(A \subseteq B\), si et seulement si:

\(\forall x, x \in A \Rightarrow x \in B\)


5. L'égalité d'ensembles.

On dit que les ensembles A et B sont égaux, noté \(A = B\), si et seulement si:

\(A \subseteq B\: et \:B \subseteq A\)


6. L'union d'ensembles.

L'union de deux ensembles A et B est l'ensemble noté \(A \cup B\) et défini ci-dessous:

\(A \cup B = \lbrace{x | x \in A \lor x \in B}\rbrace\)


7. L'intersection d'ensembles.

L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble noté \(A \cap B\) et défini ci-dessous.

\(A \cap B = \lbrace{x | x \in A \land x \in B}\rbrace\)


8. L'ensemble vide.

L'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément. Il est noté \(\varnothing\) ou \(\lbrace \rbrace\).

9. Le complémentaire d'un ensemble.

On se fixe \(\mathbb{U}\), un espace universel ( ou espace ambiance). Soit A un ensemble, le complémentaire de A (dans \(\mathbb{U}\)) est noté \(\bar{A}\) ou \(A^c\) ou encore \(\mathbb{U} \backslash A\) et est défini ci-dessous.

\(\bar{A} = A^c = \mathbb{U} \backslash A = \lbrace x \in \mathbb{U} | x \notin A \rbrace\)


10. Le produit cartésien.

Soient A et B deux ensembles. Le produit cartésien de A et B est noté \(A \times B\) et défini ci-dessous.

\(A \times B = \lbrace (a,b) | a \in A \land b \in B \rbrace\)


11. Ensemble des parties.

Soit A un ensemble. L'ensemble des parties de A est noté \(2^A\) ou \(\mathcal{P} (A)\) et défini ci-dessous.

\(2^A = \mathcal{P}(A) = \lbrace X | X \subseteq A \rbrace\)


La théorie est maintenant terminée. Place aux exercices pour voir si vous avez bien compris. ;)
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